Page 76 -

3.2 Признаки параллельных прямых

Поскольку в геометрии нам приходится иметь дело с большим количеством прямых,
то естественно может возникнуть вопрос о том, как среди них найти параллельные.
Ты уже познакомился с аксиомой параллельных прямых и знаешь виды углов, кото­
textbooks nis edu kz
рые образуются при пересечении двух прямых секущей. Давай попробуем применить эти
знания для того, чтобы найти условия, при которых можно сразу сказать параллельны
прямые или нет.
Данные условия будем называть признаками параллельности прямых.

1. Прокомментируй доказательство признака параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.

c Дано: a, b — прямые, с — секущая,
a
a ∩= M ,
c
1 M b ∩= N ,
c
1 ∠
∠= 2.
Доказать: ||ab .
b 2
N

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые a и b
2
в точках M и N соответственно и 1∠= ∠ .
Найдем середину отрезка MN, обозна­
d чим ее точкой Е.
c
Проведем через данную точку Е пря­
a P мую d, перпендикулярную прямой a.
Обозначим точки пересечения прямой d c
1 M прямыми а и b соответственно точками P и Q.
3 Получим
E
4 ∠=1 2   (по условию), 1∠= ∠ 2 
1 ∠2∠
∠=
 
b 2 EM EN ⇒ ⇒ EM  ⇒
(по построению), EN=

EM = EN=
 
N Q   
3 ∠
4
∠=
∠=
∠=3 4   (как вертикальные), 
3 ∠4∠
⇒ ⇒ MPE =� � �MPE =� NQE ⇒ MPE =� � NQE
NQE (по 2 признаку равенства
треугольника).
Значит, MPE∠ = ∠ NQE = 90° , то есть прямые a и b перпендикулярны одной и той же
прямой d, значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.
76