Page 138 -

4.1 Теорема Пифагора

4.1 а) В прямоугольнике ABCD со сторонами 4 см и 7 см проведена диагональ
B С
AC. Найди площадь треугольника ACD.
б) В прямоугольнике KLMN со сторонами а и b проведена диагональ LN.
Найди площадь треугольника KLN.
в) Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 17 см.
г) Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b.
A D
 Рассмотрим теорему Пифагора, которая показывает связь между сторонами
прямоугольного треугольника.

A Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.

α
Доказательство
c
b
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами а и b, гипотенузой
β с и острыми углами α и β.
C a B Построим квадрат со стороной (a + b). На сторонах этого квадрата возьмем
точки E, F, G и H так, чтобы отрезки EF, FG, GH и HE отсекали от квадрата
a E b прямоугольные треугольники с катетами a и b.
α
β textbooks nis edu kz
Покажем, что четырехугольник EFGH — квадрат. Все прямоугольные
a
c треугольники равны треугольнику ABC по двум катетам. Поэтому их гипоте-
b F
c нузы равны гипотенузе треугольника ABC, т. е. отрезку c. Тогда все стороны
четырехугольника EFGH равны c.
c Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Как известно,
H
c b α + β = 90°. Угол при вершине E вместе с углами, равными α и β, равен развер-
a нутому углу, поэтому FEH 90 . Точно так же доказывается, что остальные

b G a углы четырехугольника EFGH прямые. Итак, EFGH — квадрат со стороной c.
Площадь квадрата со стороной (a + b) равна (a + b) . С другой стороны,
2
она равна сумме площадей квадрата EFGH и четырех равных прямоугольных
треугольников с катетами a и b:

ab c 4 1 ab,
2
2
2
2
2
a 2 abb 2 c 2 ab,
a b c .
2
2
2
Итак, зная две стороны прямоугольного треугольника, всегда можно опре-
делить длину третьей стороны.
Пример
Дано: ΔABC, ∠С = 90 , AD = 17 см,
O
BD = 12 см, CD = 8 см.
Найти: AB.
138