Page 142 -

4.2 Теорема, обратная теореме

Пифагора

textbooks nis edu kz
4.13 а) В прямоугольном треугольнике две стороны равны 3 и 4. Найди третью
сторону треугольника.
б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике одна из сторон равна
2. Найди остальные стороны.

 Рассмотрим теорему, обратную теореме Пифагора, которая позволяет уста-
новить является ли треугольник прямоугольным, если заданы три его стороны.

Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство
Известно, что AC + BC = AB в треугольнике ABC. Покажем, что угол C прямой.
2
2
2
Рассмотрим прямоугольный треугольник PQR, у которого угол Q прямой,
PQ = AC, QR = BC.
По теореме Пифагора PR = PQ + QR или PR = AC + BC .
2
2
2
2
2
2
Но по условию AC + BC = AB , тогда PR = AB и PR = AB.
2
2
2
2
2
Треугольники ABC и PQR равны по трем сторонам, поэтому C Q .
Следовательно, у треугольника ABC угол C прямой.
Запомни! Пример Дан треугольник со сторонами 6, 2 3 и 4 3 . Найди медиану,
Если квадрат одной проведенную к большей стороне.
стороны треугольника
равен сумме квадратов Решение
двух других его сторон,
то этот треугольник 2 2 2
прямоугольный. 6 = 36, 23 12, 43 48, то есть наибольшая сторона в этом треуголь-
нике равна 43 .
2
2
Очевидно, что 6 ( 2 3) 2 ( 4 3) . По теореме, обратной теореме Пифагора,
данный треугольник является прямоугольным. Медиана, проведенная к ги-
потенузе, равна ее половине, то есть 23 .
Ответ: 23 .
 Ответ к этой задаче ставит новый вопрос: почему медиана равна меньшему
катету этого треугольника? Объясни это равенство.

Теорема, обратная теореме Пифагора, позволяет установить, является ли тре-
угольник прямоугольным, если известны длины всех его сторон.

4.14 Известны три стороны треугольника. Как установить, является ли этот
треугольник прямоугольным?

142