Page 144 -

4.20 Стороны равносторонних треугольников на рисунке равны 1. Найди такое
K положение точки M, чтобы треугольник KLM был прямоугольным. Вычисли
стороны такого треугольника.
4.21 Стороны клеток на рисунке равны 1 см. В узлах клеток нужно расставить
L вершины квадрата, площадь которого равна 13 см .
2
1. Очевидно, что сторона квадрата равна 13 см. Как получить отрезок этой
длины с помощью сторон прямоугольного треугольника?
2. Как убедиться, что полученный четырехугольник является квадратом?

4.22 Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 21 см и 28 см. Найди сред-
нюю линию трапеции.

а) textbooks nis edu kz
Готовимся к олимпиадам
B C
Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее
K
боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите растояние между
серединами оснований.
A E D
Решение: Пусть ABCD — данная трапеция, M и K — середины диа-
б) гоналей. Через точку B проведем прямую, параллельную CD, которая
B P C пересекает основание AD в точке E (рис. а)). Поскольку BCDE является
параллелограммом, то BE = CD = 8 см, тогда AE = AD – ED = AD –
K
BC. Используем, что MK = 0,5(AD – BC). (Это можно доказать, продол-
жив отрезок MK, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения
A Q E D с одной из боковых сторон трапеции. Если N — точка пересечения,
то отрезки KN и MN являются средними линиями треугольников ABD
и ABC соответственно.) По условию, MK = 5 см, значит, AE = 10 см.
В треугольнике ABE стороны равны 6 см, 8 см и 10 см, т. е. ΔABE —
прямоугольный с прямым углом B по теореме, обратной теореме Пи-
фагора. Пусть P и Q — середины оснований BC и AD соответственно
(рис. б)). Рассмотрим четырехугольник PKQM. Его противолежащие
стороны PM и KQ являются средними линиями треугольников ABC
и ABD, поэтому PKQM — параллелограмм. Так как PM||AB, PK||CD||BE
и AB⊥ BE, то PM⊥ PK и PKQM — прямоугольник. Диагонали прямоу-
гольника равны, поэтому PQ = MK = 5 см.

Ответ: 5 см.
(Московские математические регаты)

144