Page 105 -

3.6 Теорема Виета

Знаешь ли ты?
 Ты убедился, что корни квадратного уравнения зависят от его коэффициентов.
Следовательно, существуют некоторые соотношения между коэффициентами a,
textbooks nis edu kz
b, c и корнями уравнения.
Ты знаешь, что корни квадратного уравнения ax x b c 0 (a ≠ 0) равны
2
b
D D
b
x и x .
2
1
2 a 2 a
3.55 1. Нурлан определил сумму корней квадратного уравнения ax x b c 0 .
2
Помоги восстановить его запись:
x x ______________ = _____________.
1 2
b
2. Нурлан сделал вывод, что x x . Прав ли он?
1
2
3. Теперь найди произведение корней: a
b b ac 2 Французский мате-
2
2
b 4 ac b 4 ac 4 c матик Франсуа Виет
b
b
2
2
xx .
1
2
2 a 2 a 4 a 2 a (1540–1603 гг.)
был основателем
Теорема Виета современной
алгебры, он ввел
b
Сумма корней квадратного уравнения ax x b c 0 равна − , а произведе- использование букв
2
a
c
ние корней равно . в качестве алгебраи-
a ческих символов
и связал алгебру
Используя теорему Виета, можно найти сумму и произведение корней ква- с геометрией и три-
гонометрией. Виет
дратного уравнения, не вычисляя его корни. представил методы
решения уравнений
3.56 1. Найди сумму и произведение корней квадратного уравнения: второй, третьей и
четвертой степеней.
а) 3x 4x 15 0 ; б) 5y 2y 90 . Он знал связь между
2
2
положительными
Решение Решение корнями уравнений
и коэффициентами
a = 3, b = 4, c =15; a 2, b 5, c 9
различных степеней
b 4 1 b 5 неизвестной
x x a 1 ; x x a 25 , величины. Слово
2
1
1
2
2
3
3
«коэффициент» на
c 15 c 9
xx 5. xx 45,. самом деле связано
1 2 a 3 1 2 a 2 с Виетом. Виет при-
менил численные
2. Квадратное уравнение 3x 4x 15 0 не имеет действительных корней. методы для решения
2
уравнений. Эти
Однако по теореме Виета сумма и произведение корней уравнения — методы были похожи
действительные числа. Объясни, почему. на те, которые ис-
пользовались ранее
3.57 Докажи утверждение «Если x и x корни приведенного квадратного урав- арабскими матема-
1
2
нения x bxc 0 , то сумма корней равна −b , а произведение корней тиками.
2
равно с».
105