Page 108 -

3.7 Теорема Виета

3.67 1. Используя данные, заполни таблицу и приведи свой пример:

2nis edu kz
Числа Сумма mn+ Произведение mn⋅ Квадратное уравнение Корни уравнения
1
2
2
m ; n = 1 − 1 − 1 x 1 x 0 x ; x = 05,
2
3 2 6 3 6 3 1 3 2
m = –2; n = 4 2 – 8 x 2 x 8 0 x 2; x = 4
2
2
1
m 23; n 3
m = 2,5; n = 3
2. Сравни данные числа и корни соответствующих уравнений. Каким образом
связаны данные числа и корни уравнений с суммой и произведением? Какую
закономерность ты заметил? Сделай вывод.

Теорема (Обратная теорема Виета)
b
Если для чисел m и n выполняются равенства mn , mn c , то m и n корни приведенного ква-
дратного уравнения x x b c 0 .
2
textbooks
Доказательство

По условию теоремы mn , mn c , тогда b m n , c m n . Подставив значения b и c в приве-
b
денное квадратное уравнение x bxc 0 , получим x m nx mn 0 . Решим полученное уравнение,
2

n xm 0; xmxn
используя метод группировки x mxnxmn 0 ; xx m 0; x = m, x = .
n
2
Таким образом, m и n — корни уравнения.
Пример
y 20 0 .
Реши уравнение y
2
Решение
Пусть y и y корни уравнения, тогда y + y = 1, y ⋅ y = 20. Пары чисел, произведение которых равно
2
1
1
2
2
1
–20: (–5; 4); (–4; 5); (–1; 20); (–20; 1); (–2; 10); (–10; 2). Сумма второй пары равна 1 — противополож-
ному второму коэффициенту. Тогда по обратной теореме Виета числа –4 и 5 являются корнями данного
уравнения, то есть y = –4; y = 5.
1
2
Ответ: –4; 5.
3.68 а) Проверь, являются ли числа –7 и 3 корнями уравнения z 4 x 210 .
2
14,
б) Реши систему уравнений методом подбора.
9
в) Являются ли найденные значения из пункта б) корнями квадратного
уравнения x 9 x 140 .
2
Поясни свой ответ.
108