Page 107 -

Готовимся к олимпиадам

1. Галымжан и Медина играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов
b или c квадратного трехчлена x + 2 bxc+ : Галымжан — на 1, Медина — на 1 или на 3. Медина выи-
грывает, если после хода одного из игроков получается трехчлен, имеющий целые корни. Верно ли,
что Медина может выиграть при любых начальных целых коэффициентах b и c независимо от игры
textbooks nis edu kz
Галымжана?

Решение: Покажем, что Медина всегда может получить трехчлен, один из корней которого равен 2.
b
Тогда из теоремы Виета x x будет следовать, что и второй корень — целый. Для этого ей нуж-
1
2
но добиться равенства: p 2 b c 0 , т.е. 2bc . Но Галымжан может изменять выражение
4
4 2
B 2 b c на ±2 (изменив b), либо на ±1, изменив c, а Медина — на ±2; ±6; ±1; ±3. Изменяя c на ±3,
Медина может получить B 5; . Из B 3 Галымжан получит B 5; 1; 4 (проигрыш), −2 и
3
следующим ходом Медина получит B 4.
Из B 5 Галымжан получит B 3; 7; 4 (проигрыш), −6 и Медина получает B 4.
Ответ: Верно.

2. ab, и c — целые числа, c ≠ . Известно, что квадратные трехчлены ax + 2 bx c+ и cb x 2 c ax ab
b
cb x 2 c ax ab имеют общий корень (необязательно целый).
Докажите, что ab++ 2 делится на 3.
c
(А. Храбров)

Решение: Вычтем из первого трехчлена второй. Получим, что они оба имеют общий корень с трехчле-

ном ax bx c c bx ca x 2 ca x b a x ac x ac x ac b cb a

x ac b b
a b b
a cb
c bx
2
bx c
ax
2

2
2
2

ac bx
x
ac bx 2 x 2 1
1 .
Следовательно, либо ac b 0 , либо их общий корень совпадает с одним из корней трехчлена
x
2
x 1.
c
В первом случае имеем, что a 2 c b 3 делится на 3.
Во втором случае получаем, что если x — общий корень трехчленов ax + 2 bx c+ и x
x 1, то
2
0

ax bx cc x 2 x 1 , откуда ac x 2 b cx 0 . Число x — иррационально, поэто-
2
0
0 0 0 0 0 0 0
c
му полученное равенство возможно только если ac 0 и bc 0, т.е. ab , следовательно
a 2 c b 0 делится на 3.
3. Пусть D — дискриминант приведенного квадратного трехчлена x + 2 axb+ . Найди корни трехчлена,
если известно, что они различны и один из них равен D, а другой равен 2D.
107