Page 155 -

4.7 Зависимость между синусом,

косинусом, тангенсом
и котангенсом одного

и того же угла

4.62 Отношение одного из катетов к гипотенузе прямоугольного треугольника
равно p :10 . Как найти отношение катетов? Выбери свое значение p. Найди
косинус и тангенс угла, прилежащего к катету, длина которого пропорци-
ональна p. αedu kz

 Докажем тождества, связывающие тригонометрические функ-
ции одного и того же острого угла: B

textbooks nis
sin cos
tg , ctg ,
cos sin
tg ctg , 1 A C

2
2
1 tg 1 , 1 ctg 1 .
cos 2 sin 2
BC
По определению, tg A = . Разделим числитель и знаменатель этой дроби на AB:
AC
BC AC
tg A = : .
AB AB
BC AC sin A sin
Но sin A = ,cos A = . Таким образом, tgA = или tg .
AB AB cos A cos

cos A cos
Аналогично, ctgA = или ctg .
sin A sin
Перемножим тангенс и котангенс одного и того же угла:

sin cos
tg ctg , т. е. tg ctg 1.
cos sin
2
Разделив обе части основного тригонометрического тождества sin cos 2 1
2
на cos α , получим:
sin 1 2 1
2
cos 1 cos или 1 tg cos 2 .
2
2
Если разделим обе части основного тригонометрического тождества
2
sin cos 1 на sin α , получим тождество 1 ctg 1 .
2
2
2
sin 2
155