Page 166 -

4.11 Пропорциональные отрезки

в прямоугольном треугольнике

AH AB nis edu kz
4.104 В прямоугольном треугольнике с острым углом 30° одна из сторон равна
10. Найди остальные стороны этого треугольника.

С  В прямоугольном треугольнике ABC
BC = a, AC = b, AB = c.
Проведем высоту CH, CH = h.
a
b h Обозначим отрезки AH и BH как b и а соответственно.
с
с
В прямоугольном треугольнике BHC угол BCH и угол B являются допол-
нительными, но в прямоугольном треугольнике ABC углы A и B также
А b H a B
AB = c c c являются дополнительными, откуда A BCH (1).
ACH (2).
Аналогично, B
2
2
1. Докажем, что a a c и b b c .
Запомни! c c BC
Отрезки AH и BH — Рассмотрим треугольник ABC и выразим синус угла A: sinA = AB .
это проекции катетов BH
AC и BC на гипотенузу Рассмотрим треугольник BHC и выразим синус угла BCH: sinBCH = BC .
AB. В прямоугольном BC BH
textbooks
треугольнике катет Учитывая равенство (1), получим: , BC BH AB или a a c .
2
2
c
есть среднее пропор- AB BC
циональное (среднее Аналогично, выражая синусы углов ACH и B и учитывая равенство (2), полу-
геометрическое) меж- чим: AC AH AC или b b c .
2
2
ду гипотенузой и его AB AC , c
проекцией на гипоте- 2. Докажем, что h a b .
2
нузу, т. е. c c CH
2
a a c или Рассмотрим треугольник AHC и выразим тангенс угла A: tg A = AH .
c
a a c . BH
c
В прямоугольном треу- Рассмотрим треугольник BHC и выразим тангенс угла BCH: tg BCH = CH .
гольнике высота, про- Учитывая равенство (1), получим: CH BH CH AH BH или h a b .
2
2
веденная к гипотенузе, AH CH , c c
есть среднее пропор- 3. Докажем, что h = ab .
циональное (среднее c BC
геометрическое) меж- Рассмотрим треугольник ABC и выразим синус угла A: sinA = AB . (3)
ду проекциями катетов
на гипотенузу, т. е. Рассмотрим треугольник AHC и выразим синус угла A: sinA = CH . (4)
h a b c и AC
2
c
h a b c . Из равенств (3) и (4) получим пропорцию BC = CH , откуда CH BC AC или
AC
AB
c
AB
h = ab .
c
4.105 В этом пункте были рассмотрены свойства пропорциональных отрезков
в прямоугольном треугольнике.
а) Какие идеи были рассмотрены для вывода этих свойств?

166