Page 70 -

Теорема (свойства диагоналей прямоугольника, ромба и квадрата)

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами
его углов.
3. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и являются биссек-
textbooks nis edu kz
трисами его углов.

2.46 Изучи доказательства свойств диагоналей прямоугольника, ромба и квадрата
и дополни их, ответив на вопросы в скобках.

1. В прямоугольнике АВСD проведем диагонали АС и ВD. Треугольники АВС
B C и ВАD являются прямоугольными (почему?) с общим катетом АВ,
а катеты ВС и АD этих треугольников равны (почему?). Следовательно,
ABC BAD (по какому признаку?), тогда АС = ВD.

A D 2. Пусть диагонали АС и ВD ромба АВСD пересекаются в точке О, тогда АО =
= ОС (почему?). К тому же, в треугольниках АОВ и СОВ сторона ОВ —
B
общая, АВ = ВС (почему?), отсюда AOB COB (по какому признаку?).
Следовательно, AOB COB , тогда каждый их них равен 90° (почему?),
т.е. можно утверждать, что AC ⊥ BD . Из равенства треугольников также
A O C следует, что ABO CBO , т.е. диагональ ВD — биссектриса угла В ромба
АВСD. Аналогично можно доказать, что диагонали ромба являются биссек-
трисами других его углов.
D 3. Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то для него
справедливы все свойства прямоугольника и ромба.

2.47 Диагональ KN прямоугольника KMNL образует со стороной MN угол в 30°,
M A N а точки А и В лежат на сторонах MN и KL соответственно, причем ANBK —
30°
ромб. Найди периметры прямоугольника и ромба, если меньшая диагональ
ромба равна 2а, а большая — 2b.

K B L 2.48 Прямоугольник вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник
так, что две его вершины расположены на гипотенузе, а две другие —
на катетах этого треугольника. Найди стороны прямоугольника, если одна
из них втрое больше другой, а гипотенуза треугольника равна 14.

2.49 Клумба квадратной формы огорожена четырьмя одинаковыми прямо-
угольными плитами так, как показано на рисунке. Периметр каждого из
этих прямоугольников равен 3 м. Чему равен периметр клумбы с оградой?

2.50 Внутри квадрата отметь произвольную точку и проведи через нее две
взаимно перпендикулярные прямые так, чтобы каждая из них пересекала
две противоположные стороны квадрата. Докажи, что отрезки этих прямых,
заключенные внутри квадрата, равны.

70