Page 68 -

Теорема (признаки параллелограмма)

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллело-
грамм.
2. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник —
параллелограмм.
textbooks nis edu kz
3. Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четыреугольник — паралле-
лограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство

1 2
B C B C

A D A D

Пусть в четырехугольнике АВСD АВ=СD Пусть в четырехугольнике АВСD АВ=СD
и AB CD. Из параллельности сторон АВ и ВС=АD. Тогда треугольники АВС и СDА
и СD следует равенство углов ВАС и DСА. равны по трем сторонам, следовательно, рав-
Тогда треугольники АВС и СDА равны по ны их соответствующие углы, т.е. ∠ВАС =
двум сторонам и углу между ними. Поэтому =∠DСА и ∠BCA=∠DAC. Из этого можно сде-
∠BCA=∠DAC, из чего следует, что BC AD. лать вывод, что AB CD и BC AD.
Значит, четырехугольник АВСD является Значит, четырехугольник АВСD — парал-
параллелограммом. лелограмм.

3 B C 4 B C
β α
O

α β A D
A D
Пусть в четырехугольнике АВСD равны Пусть в четырехугольнике АВСD диагона-
противолежащие углы: ∠BAD =∠DCB=α ли пересекаются в точке О и делятся этой точ-
и ∠ABC=∠CDA=β. Так как сумма внутренних кой пополам. Углы АОВ и СОD равны как вер-
углов четырехугольника равна 360°, то α +β = тикальные, следовательно можно утверждать,
=180°. Тогда на основании признака парал- что треугольники АВО и СDО равны по двум
лельности прямых можно сделать вывод о сторонам и углу между ними. Тогда равны их
параллельности противолежащих сторон че- соответствующие стороны АВ и СD. Анало-
тырехугольника АВСD, следовательно, этот гично можно доказать равенство сторон ВС
четырехугольник является параллелограммом. и АD. На основании признака 2 можно утвер-
ждать, что АВСD — параллелограмм.

68