Page 72 -
P. 72
Теорема (признаки прямоугольника и ромба)
1. Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
2. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является
ромбом.
3. Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм яв-
textbooks nis edu kz
ляется ромбом.
2.57 Из списка в рамке выбери подходящие фразы для заполнения пропусков
в доказательствах признаков прямоугольника и ромба.
1. Пусть в параллелограмме АВСD диагонали АС и ВD равны.
B C
Тогда треугольники АВС и ВАD равны по 1 . Следовательно,
ABC BAD , причем ABC BAD 90 , т.к. 2 . Поскольку 3 , то
ADC ABC BAD BCD 90 , отсюда можно сделать вывод, что
A D параллелограмм АВСD является прямоугольником.
B 2. Пусть в параллелограмме АВСD диагонали АС и ВD перпендикулярны. Тогда
треугольники АОВ и СОВ равны по 4 , следовательно, АВ = ВС. 5 , тогда
DС = АВ = ВС = АD. Значит, параллелограмм АВСD является ромбом.
A C 3. Пусть в параллелограмме АВСD диагонали АС и ВD являются бис-
O
сектрисами его углов. Тогда
1
1
AOB 180 BAO ABO) 180 1 BAD ABC 180 180 90 .
(
2
2
2
D Следовательно, AC ⊥ BD , и на основании признака 2 можно заключить, что
параллелограмм АВСD — ромб.
а) двум катетам; б) катету и гипотенузе; в) двум сторонам и углу между
ними; г) трем сторонам; д) противолежащие углы параллелограмма равны;
е) диагонали точкой пересечения делятся пополам; ж) противолежащие
стороны параллелограмма равны; з) сумма соседних углов параллелограм-
ма равна 180°.
2.58 Докажи утверждения:
а) Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
б) Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
2.59 Построй:
а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;
б) квадрат по серединам двух его соседних сторон.
Готовимся к олимпиадам
Аян и Саян по очереди разламывают прямоугольную плитку шоколада размером
4 × 7. За один ход можно сделать один прямолинейный разлом вдоль углубления.
Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Сможет ли Аян выиграть, если первым
начнет ломать шоколадку?
72
