Page 80 -

2.10 Теорема Фалеса

2.89 Докажем утверждение: Прямая, проходящая через середину боковой сто-
Запомни!
роны трапеции параллельно основаниям, делит вторую боковую сторону
2.edu kz
пополам.

B C Пусть точка М — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD, а прямая
МN параллельна основаниям этой трапеции, причем N ∈ CD. Требуется доказать,
M N что СN = ND.
Для доказательства утверждения используй один из приведенных ниже спосо-
A D бов выполнения дополнительных построений. Дополни доказательные рассуж-
дения подходящими определениями, свойствами и признаками.

Способ 1 Проведем прямые ВЕ и МF параллельно боковой стороне СD. Тогда:

Вывод Обоснование
1. Соответственные углы при парал-
1. BME MAF и MBE AMF лельных прямых равны.
B C
2. MBE AMF
E
M N 3. ВЕ = МF 3.
4. BCNE и MNDF — параллелограммы 4.
A F D
5. ВЕ = СN и МF = ND 5.
6. СN = ND 6.

Способ 2 Продолжим прямые ВС и МD до пересечения в точке Р. Тогда:

Вывод Обоснование
B
C
1. BMP
AMD
P textbooks nis 1. Вертикальные углы равны.
M N 2. PBM DAM 2.
A D 3. PBM DAM 3.
4. РМ = МD 4.
5. МN — средняя линия треугольника СDР 5.
6. СN = ND 6.

 Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке О. Тогда дока-
O занное утверждение можно переформулировать так:
Пусть через точки А, М и В, расположенные на одной стороне угла, проведены
B C параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла в точках D, N
и С соответственно. Тогда, если АМ = МВ, то DN = NС.
M N
Теорема Фалеса является обобщением этого утверждения.
A D
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные от-
резки, то и на другой стороне угла они отсекают равные отрезки.

80