Page 85 -

2.108 Даны отрезки а, b и с.
Построй отрезок х, если отрезки а и b пропорциональны a b
отрезкам с и х. c

Решение
c
textbooks nis edu kz
Даны три отрезка а, b и с. Требуется построить отрезок х, такой, a
a c
что = , т.е. х является четвертым пропорциональным отрез-
b x b
ком для отрезков а, b и с.
Построение основано на теореме о пропорциональных отрезках. k c
Построим произвольный неразвернутый угол. На одной стороне a
угла от его вершины отложим отрезки а и с, а на другой — отрезок b.
Проведем прямую k через концы отрезков а и b, затем через дру- b
гой конец отрезка с проведем прямую l, параллельную прямой k. l
Прямые k и l отсекают на одной стороне угла отрезок с, а на дру- k c
гой — искомый отрезок х.
Задача имеет единственное решение, т.е. для данных отрезков a
а, b и с можно построить единственный отрезок х, так чтобы от- b x
резки а и b были пропорциональны отрезкам с и х.

2.109 АК и СР — перпендикуляры, опущенные из вершин А и С
треугольника АВС на прямую, проходящую через вершину K
В этого треугольника. Докажи, что середина М стороны АС B P
равноудалена от точек К и Р.

2.110 Через вершину С параллелограмма АВСD проведи прямую, C
так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри угла A M
ВАD делился точкой С в отношении 2 : 1.

2.111 Из вершин параллелограмма АВСD опустили перпендикуляры B C
AP, BQ, CS и DR на некоторую прямую.
Докажи, что AP + CS = BQ + DR.

Готовимся к олимпиадам A D
От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две S
его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося Q R
параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от P
оставшегося параллелограмма еще раз отрезали ромб. В результате
остался параллелограмм, отношение сторон которого равно 1 : 2.

а) Каким может быть отношение сторон исходного параллело-
грамма? Найди как можно больше решений.
б) Обсуди с одноклассниками полученные результаты.

85