Page 16 -

textbooks nis edu kz
5.37 Верно ли, что:

а) точка пересечения с осью ординат квадратичной функции

2
y ax bxc имеет координаты 0; c ;
б) при a < 0 ветви параболы направлены вверх;
b
2
в) осью симметрии параболы y ax bxc является прямая y ;
2 a
г) при a 2 вершина параболы y ax 6 x 5 имеет координаты
2
15,; 05, ;
2
д) вершина параболы y 3 x 6 x 1 лежит в первой четверти;
е) при c < 4 функция y x 4 xc имеет две точки пересечения с
2
осью абсцисс?

2
5.38 а) При каком значении с график функции y 6 x 8 xc пересекает

ось ординат в точке 0; 5 ?
б) При каком значении b график функции y 2 x bx 2 пересекает
2

ось абсцисс в точке 05 0,; ?

Готовимся к олимпиадам

На рисунке изображены две параболы, старшие коэффициенты
которых равны единице. Третья парабола имеет вершину в точке
(0;1) и целиком лежит в закрашенной области (возможно, касается
ее границы). Какое наименьшее значение может принимать ее стар-
ший коэффициент?
–2 –1 0 1 2

Решение:
Первая парабола имеет корни 0 и 1 и единичный старший коэффициент, значит, это парабола
y x . Аналогично левая парабола задается уравнением y x . Поскольку вершина тре-
x
x
2
2
тьей параболы расположена в точке 01; , она должна задаваться уравнением y ax 1. Что-
2
бы эта парабола поместилась в закрашенную область, она должна лежать выше как правой, так
x
и левой парабол. Следовательно, при всех x должны выполняться неравенства ax x
2
2
1

x
и ax x . Первое из них равносильно неравенству a 1 x 1 0. Оно выполнено
x
2
2
2
1
только тогда, когда a >1 и дискриминант квадратного трехчлена в левой части неположителен.
Это возможно лишь при a ≥ 5 . То же условие получается и для второго неравенства.
4
5
Ответ: наименьшее значение старшего коэффициента равно .
4
Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 2010 г., К. Кохась
16