Page 190 -

textbooks nis edu kz
9.3 Координаты середины отрезка

9.18 Точка M(4; ‒1) принадлежит отрезку AB, где A(1; 3) и B(7; ‒5).

а) Найди расстояние AM.
б) Найди расстояние MB. Каково положение точки M на отрезке AB?
в) Сделай предположение о том, как связаны координаты точек A, B и M.

В прямоугольной системе координат заданы точки A(x ; y ) и B(x ; y ),
y 1 1 2 2
A точка C(x ; y ) — середина отрезка AB. Пусть x > 2 x > 0 x (случай, когда
0
0
1
x < x < x рассматривается аналогично). Через точки A, C и B проведем
2
0
1
C прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось со-
ответственно в точках A , C и B . По теореме Фалеса A C = C B , то есть
B 1 1 1 1 1 1 1
x
x x x ,
A 1 C 1 B 1 x 2 0 0 1
0 x 1 x 0 x 2 2 x x x , Проведя аналогичные рассуждения с ординатами
0
2
1
x x y y
x 1 2 . точек A, B и C, получим формулу y 1 2 .
0 0
2 2
Итак, если C(x ; y ) — середина отрезка AB, где A(x ; y ) и B(x ; y ),
0
0
1
2
2
1
x x y y
то x 1 2 , y 1 2 .
0 0
2 2
Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются вер-
ными и для случая, когда отрезок AB перпендикулярен одной из осей ко-
ординат (докажи это самостоятельно).
Пример Точка M(–5; 2) — середина отрезка AB, A(3; –1). Найди коор-
динаты точки B.
Решение
Пусть (x; y) — координаты точки B. Для их вычисления используем
формулы координат середины отрезка:
3 x
1 y
1 y
5 x 10 x 13, y 5.
3
2
4
2 2
Итак, точка B имеет координаты (‒13; 5). Ответ: (‒13; 5).
9.19 Найди координаты середины отрезка PQ, если:

а) P(‒5; 4), Q(3; ‒2); б) P(2; –1), Q(1; –7).

9.20 Точка C — середина отрезка AB. Найди координаты точки B, если:

а) A(‒3; 4), C(2; –1); б) A(1; –1), C(–1; 0,5).

190
190