Page 194 -

1nis edu kz
9.35 Найди координаты точки C, делящей отрезок FE в отношении 1:3,
если F(‒3; 5), E(1; ‒7).

B(x ; y ) В некоторых задачах полезно самостоятельно вводить координатную
2
2
систему. Такое «вмешательство» алгебры в геометрию дает замечатель-
ные результаты. Посмотрим на примере, как с помощью координат мож-
M K но доказать уже известное утверждение.

Пример
A(x ; y ) C(x ; y ) Средняя линия треугольника равна половине стороны, ко-
1 1 3 3
торой она параллельна.
Решение

Пусть дан треугольник ABC, причем A(x ; y ), B(x ; y ), C(x ; y ), а точки M и K середины сто-
2
3
1
1
3
2
рон AB и BC соответственно.
Найдем координаты M и K и квадрат длины MK:
x x y y x x y y
textbooks
x 1 2 , y = 1 2 x , = 2 3 , y= 2 3 ,
M
2 M 2 K 2 K 2
1
MK x x 3 x x y 2 y 3 y y 2 2 , MK 2 1 x y 2 ..

x
y
2
2
2
2 2
1

2 2 2 2 4 3 1 4 3 1
x
2
Найдем квадрат длины AC: AC ( x ) 2 ( y y ) 2
3 1 3 1
Сравним полученные результаты: MK = 1 AC , тогда MK = 1 AC .
2
2
4 2
Готовимся к олимпиадам
B Две противоположные стороны AB и CD выпуклого четырехугольника
ABCD лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами
сторон BC и AD равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей
E
AC и BD.
A
Решение. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда
F A(0; a), B(0; b), C(c; 0), D(d; 0). Найдем координаты середин сторон AD и BC:
0 D C x

F d ; a и E c ; b . Тогда FE 1 ( cd ) 2 ba .
2
2

2
2
4
2
2
Пусть M и N — координаты середин диагоналей AC и BD соответственно.
d
c
b

a

Найдем координаты этих точек: M
.
и N

;
;

2

2
2
2

c
2
Тогда MN 1 ( d ) 2 ba . Так как FE = MN , то MN = 5.
2
2
2
4
Ответ. 5.
(Московские математические регаты)
194
194