Page 205 -

textbooks nis edu kz
9.9 Уравнение прямой

9.66 Дана точка A(‒3; 2). Выбери точку B, лежащую в третьей четверти,
и напиши уравнение:

а) прямой, проходящей через две точки A и B;
б) линейной функции, график которой проходит через точки A и B.

 Докажем следующее утверждение:

Любая прямая в декартовых координатах задается уравнением вида
ax + by + c = 0, где a, b и c — некоторые числа, причем хотя бы одно
из чисел a, b не равно нулю, т. е. a + b ≠ 0.
2
2
Доказательство

Пусть m — некоторая прямая в координатной плоскости, а C — про- A(x y M(x y
1
1
извольная точка этой прямой. Через C проведем прямую, перпендику-
лярную прямой m, и отложим на ней равные отрезки CA и CB (рису- C
нок справа). m
Пусть (x ; y ) и (x ; y ) — координаты точек A и B соответственно. Пря- B(x y
1
1
2
2
мая m является серединным перпендикуляром к отрезку AB, а, значит, 2 2
любая точка M (х; y) этой прямой равноудалена от точек A и B. Тогда
справедливы следующие равенства:
2
2
MA = MB .
(х – х ) + (y – y ) = (х – х ) + (y – y ) . (*)
2
2
2
2
1
2
2
1
Обратное утверждение также справедливо: если координаты (х; y) ка-
кой-либо точки удовлетворяют уравнению (*), то эта точка равноуда-
лена от точек A и B, то есть принадлежит прямой m. Значит, уравнение
(*) есть уравнение прямой m. Раскроем в этом уравнении скобки и
сгруппируем слагаемые относительно x и y:
x 2 xx x y 2 yy y x 2 xx x y 2 yy y ,
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1 1 1 2 2 2 2
2
2
2
2( x x x ) 2 2(y y )y (x x y y 2 ) 0.
2 1 2 1 1 2 1 2
c
Обозначив 2(x x 1 ) a ,( 2 y 1 ) b x , 1 2 x y y , получим урав-
2 y
2
2
2
2
2
2
1

нение ax by c 0. Так как точки A и B различны, то хотя бы одна из
разностей x − x , y − y не равна нулю. Значит, коэффициенты a и b
2
1
2
1
не равны нулю одновременно. Утверждение доказано.
Уравнение ax by c 0, где a b , называется общим
2
2
0
уравнением прямой.
205
205