Page 78 -

2nis edu kz
6.10 Формула Герона

 Площадь треугольника со сторонами a, b и с можно вычислить по
формуле S p pa pb pc ( )( )( ) , где p — полупериметр данного тре-
abc
угольника, т.е. p .
2
Эту формулу называют формулой Герона в честь древнегреческого ма-
Герон
Александрийский тематика Герона Александрийского.
(I в. н. э.)
6.117 Докажем формулу Герона.

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть АВ = с, BC = a, CA = b. Проведем
C
a 1
B высоту ВН. Пусть BH = h, AH = x и СН = у. Тогда, S ABC( ) = bh. (1)
h y 2
textbooks
2
c 1. Используя теорему Пифагора, вырази h из образовавшихся прямо-
H
x b угольных треугольников, затем составь равенство, содержащее х и у.
A 2. Полученное равенство можно переписать в виде:

2
2
2
2
2
y x a c или yx yx a c . (2)
Но у + х = b. (3)
Используя равенства (2) и (3), найди у – х.
3. Сложи полученное равенство и равенство (3) и покажи, что
2
2
a b c 2
y .
b 2 2 2 2
4. Подставь выражение a b c вместо у в подходящее равенство,
b 2
записанное в пункте 1, и, применяя формулу разности квадратов,
покажи, что

h 1 c abc ab ab c abc . (4)
2
b 4 2
5. Полупериметр треугольника равен p, значит a + b + c = 2p. Тогда,
с – a + b = с + a + b – 2a = 2p – 2a.
Выполни преобразования остальных множителей, записанных в
скобках в равенстве (4).
7. Подставь значение h в равенство (1) и преобразуй правую часть до
6. Используй полученные результаты и найди h из равенства (4).

получения формулы Герона.

6.118 Найди площадь треугольника со сторонами:
2
1
а) 5 м, 9 м и 12 м; б) 10,9 см, 10 см и 1,1 см; в) 5 дм, 8 дм и 12 дм.
3 3

78