Page 46 -

1.164 Докажи неравенство ab ab , где a ≥ b ≥ 0, 0 .
2

Решение
Доказательство:
textbooks nis edu kz
Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

2 2
a
b
ab ab ab 2 ab 2 ab .

2 2 2
Выражения a и b имеют смысл, так как a ≥ b ≥ 0, 0 по условию.
Говорим и читаем Применим формулу квадрата разности и получим:
правильно 2 2 2
b
a 2 ab a
b
Среднее .
геометрическое двух 2 2 2
b
неотрицательных a ab
чисел не превосходит Так как 2 0 , то 2 ab 0 .
среднего ab
арифметического Значит, ab . Что и требовалось доказать.
этих же чисел. 2

 Доказанное неравенство называется неравенством между средним ариф-
метическим и средним геометрическим.

При каком условии среднее арифметическое двух неотрицательных чисел
равно их среднему геометрическому?

Готовимся к олимпиадам

В клетках таблицы 33× стоят положительные числа. При этом произведение
чисел в любых двух соседних клетках равно 2. (Соседними считаются клет-
ки, имеющие общую сторону). Докажите, что сумма всех чисел в таблице
не меньше 410 .
Решение: x 2 x
Пусть х — число в центре таблицы. Тогда в x
клетках, соседних с центром, стоят числа, 2 2
2
равные , а в углах — числа, равные х. x x x
x
Итого, пять чисел в таблице равны х и четыре 2
2
8
числа равны . Их сумма равна 5x + . x x x
x x
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для
8 8 8
чисел 5x и получаем 5x 25x 240 4 10 .
x x x
(Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике,
2012-2013 уч.г., автор Н. Агаханов)

46