Page 51 -

1.183 Для каждого из приведенных утверждений определи, верно ли оно всегда,
иногда или никогда. Обоснуй свой ответ. Приведи примеры.

а) Сумма двух рациональных чисел есть число рациональное.
б) Сумма рационального числа и иррационального числа есть число ирра-
циональное.
textbooks nis edu kz
в) Сумма двух иррациональных чисел есть число иррациональное.
г) Произведение двух рациональных чисел есть число рациональное.
д) Произведение рационального числа и иррационального числа есть число
иррациональное.
е) Произведение двух иррациональных чисел есть число иррациональное.

1.184 Верно ли, что частное двух иррациональных чисел является иррацио-
нальным числом? Обоснуй свой ответ.

1.185 Стороны прямоугольника равны a и b.
а) Укажи такие значения a и b, чтобы площадь прямоугольника выражалась
рациональным числом, а периметр — иррациональным.
б) Для любых ли значений a и b площадь прямоугольника будет равна ра- a
циональному числу? Обоснуй свой ответ.
a
a
1.186 Ребро куба равно a.
а) Укажи два каких-нибудь значения a, при которых площадь поверхности
куба будет числом рациональным, а объем куба — иррациональным.
б) Укажи два каких-нибудь значения a, при которых и площадь поверхности
куба, и объем куба будут выражаться иррациональными числами.

1.187 Известно, что aQ bQ∈ ∈ , . Докажи, что значение выражения

1 b a b a a
:

a b ba aa a ab b ab a b
является рациональным числом.

Готовимся к олимпиадам

Найдите все значения а, для которых выражения a + 15 и 1 − 15 принимают целые значения.
a
Решение:
n
Пусть a 15 m , 1 15 , где m и n — целые числа.
a
n

Тогда m 15 15 mn 1516 mn . Числа 16 − mn и mn− являются целыми.
1
Если m ≠ n , то число 16 − mn рационально, значит, оно не может быть равно 15 . Если mn= ,
mn
−
то 16 mn 0 , следовательно mn 4 . Ответ: a 4 15 .

(Московская математическая регата, 2000-2001 гг.)

51