Page 49 -

1.18 Действия с рациональными

и иррациональными числами

textbooks nis edu kz
1.176 Даны числа aZ∈ и bZ∈ . Является ли целым число: Знаешь ли ты?
а) ab+ ; б) ab− ; в) ab⋅ ; г) ab: ?

Если нет, то какому числовому множеству оно принадлежит?

1.177 Даны числа aQ∈ и bQ∈ . Может ли быть иррациональным число:

а) ab+ ; б) ab− ; в) ab⋅ ; г) ab: ?

Обоснуй свой ответ.
Георг Кантор
(Georg Ferdinand Ludwig
1.178 Докажи, что число 5 + 6 + 7 — иррациональное. Philipp Cantor) —
немецкий математик
Решение (1845–1918 гг.). Кантор
является основателем
Предположим обратное: пусть 5 6 7 r , где r — рациональное число. теории множеств, ини-
циатором создания
2
2
Тогда: 5 6 r 7 , 5 r 7 , 11 230 r 2 2r 7 , Международного кон-
6
7
гресса математиков.
230 2r 7 r 2 4 , 120 8 r 210 28r 2 r 4 8r 2 16 , Он является создате-
лем строгой теории
r 4 36r 2 104 иррациональных чи-
210 , где r ≠ 0 .
8r сел. Кантор доказал,
что иррациональных
В левой части равенства — число иррациональное, а в правой — рациональ- чисел больше, чем
ное. Получили противоречие, следовательно, предположение невер- рациональных. Свои
но. Значит, 5 + 6 + 7 — иррациональное число. исследования по этому
вопросу он опублико-
вал в 1874 г. в статье
«Об одном свойстве
1.179 Докажи, что является иррациональным число: совокупности всех
действительных чисел».
а) 53 2− ; б) 5 − 2 ; в) 7 2 3 ; г) 2 3 6 .

1.180 Докажи, что число 0,123456… (подряд выписаны все натуральные числа) —
является иррациональным.

Решение
Предположим, что данная дробь периодична и имеет период, состоящий из n
знаков. В дробной части этого числа подряд выписаны все натуральные числа.
Значит, на некотором месте периодической части будет стоят натуральное
число, содержащее 2n+1 нулей. Очевидно, что в этом месте укладывается
целый период. Это означает, что период должен состоять из одних нулей,
но этого не может быть. Следовательно, предположение неверно и данная
дробь непериодическая.

49