Page 78 -

6.10 Герон формуласы

 Қабырғалары a, b және с, болатын үшбұрыштың ауданын
S p pa pb pc ( )( )( ) формуласы арқылы есептеуге болады, мұндағы
abc
р — берілген үшбұрыштың жарты периметрі, яғни p .
2

Осы формуланы ежелгі грек математигі Герон Александрийскидің
Герон құрметіне Герон формуласы деп атайды.
Александрийский 2nis edu kz
(I б. з.) 6.117 Герон формуласын дәлелдейік.

АВС үшбұрышын қарастырайық. АВ = с, BC = a, CA = b болсын.

C ВН биіктігін жүргізейік. BH = h, AH = x және СН = у болсын. Онда,
a
B S ABC( ) = 1 bh. (1)
h y 2
textbooks
c 1. Пифагор теоремасын қолданып, шыққан тікбұрышты үшбұрыштардан
H 2
x b h -ты өрнекте, содан кейін құрамында х және 8 бар теңдік құрастыр.
A 2. Шыққан теңдікті осылай жазуға болады:

2
2
2
2
2
c
y x a c немесе yx yx a . (2)
Бірақ у + х = b. (3)
(2) және (3) теңдіктерін қолданып, у – х тап.
2
2
a b c 2
3. Шыққан теңдіктерді және (3) теңдігін қосып, y болаты-
нын көрсет. b 2
2
2
a b c 2
4. өрнегін у-тің орнына 1) пункте жазылған жарасымды
b 2
теңдікке қой, және, квадраттардың айырмасының формуласын қол-

данып, h 1 2 c abc ab ab c abc . (4)болатынын
2
көрсет. b 4
5. Үшбұрыштың жарты периметрі p-ға тең, демек a + b + c = 2p. Онда,
с – a + b = с + a + b – 2a = 2p – 2a.
(4) теңдігінде жақшада жазылған қалған көбейткіштерді ықшамда.
6. Шыққан нәтижелерді қолданып, (4) теңдігінен h-ты тап.
7. h-тың мәнін (1) теңдігіне қойып, оның оң жағын Герон формуласы
6.118 Қабырғалары белгілі үшбұрыштың ауданын тап:
шыққанға дейін түрлендір.

а) 5 м, 9 м және 12 м;
ә) 10,9 см, 10 см және 1,1 см;
2
1
б) 5 дм, 8 дм және 12 дм.
3 3
78