Page 24 -

textbooks nis edu kz
д) Через сколько секунд после начала движения тело было на вы-
соте 80 м?
е) На какой высоте было тело через 3 с после начала движения?
Через сколько секунд после этого тело было на той же высоте?
ж) Сколько всего метров пролетело тело?
з) Сколько времени тело находилось не выше 80 м над землей?

5.57 Футболист на тренировке подбросил мяч вертикально вверх.
Высота (h), на которой находится мяч через t секунд полета вычис-
gt 2
2
ляется по формуле h 16 t , где g ≈ 10 м/с . Через сколько секунд
2
мяч упадет на землю?

x
2
5.58 Река протекает по лугу, образуя кривую y 08, x (единица дли-
ны — 1 км). Прямолинейная дорога проходит вдоль оси Ох и дважды
пересекает реку. Определи расстояние между мостами, проложен-
ными через реку.

Готовимся к олимпиадам

Найдите все тройки abc,, a b a, 0 b , 0 действительных чисел, для которых параболы
2
2
y ax bxc и y bx cxa имеют общую вершину.
Решение:

Заметим вначале, что обе параболы проходят через точку N 1; abc . Пусть точка Ax y; —
0
0
y
общая вершина парабол, тогда замена x 0 ' y сдвигает вершины парабол в точку
'
x xy,
0
'
O — начало координат, т.е. мы получаем параболы y = ax и y = bx , проходящие через об-
'
'2
'2
'

щую точку N 1 x abc y; .
'
0
0
'
'
'
b
В силу условия a ≠ эти параболы имеют одну общую точку O , т.е. N = O , и, значит, точка
N является вершиной исходных парабол.
b c b 2 c 2
Отсюда 1 и c a , т.е. b 2 , c = 4 .
a
a
2 a b 2 4 a b 4
Ответ: a d b , 2 d c , 4 d d , 0 .
Всероссийские олимпиады по математике, Н. Агаханов

24